OEIS A212558: Proof of Unproven Conjecture? Proven! - Printable Version +- HP Forums (https://www.hpmuseum.org/forum) +-- Forum: HP Calculators (and very old HP Computers) (/forum-3.html) +--- Forum: General Forum (/forum-4.html) +--- Thread: OEIS A212558: Proof of Unproven Conjecture? Proven! (/thread-9719.html) OEIS A212558: Proof of Unproven Conjecture? Proven! - Gerald H - 12-18-2017 08:23 AM The sequence https://oeis.org/A212558 defined as a(n) = ((n - s)^2 mod (n + s)) - ((n + s)^2 mod (n - s)), where s is the sum of the decimal digits of n has the value 0 for 2,999 < n < 20,000,000 & for random input 20,000,000 =< n < 10^94. Can anyone suggest a proof of 0 value for all integer input > 2,999 ? RE: OEIS A212558: Proof of Unproven Conjecture? - pier4r - 12-18-2017 08:26 AM interesting! RE: OEIS A212558: Proof of Unproven Conjecture? - stored - 12-18-2017 10:21 AM (n - s)^2 = (n + s)^2 - 4 n s = (n + s)^2 - 4 s (n + s) + 4 s^2 (n + s)^2 = (n - s)^2 + 4 n s = (n - s)^2 + 4 s (n - s) + 4 s^2 Then source problem is equivalent 4 s^2 mod (n+s) = 4 s^2 mod (n-s) This is true for all s, that 4 s^2 < n-s. RE: OEIS A212558: Proof of Unproven Conjecture? - Paul Dale - 12-18-2017 10:27 AM The same property seems to hold for other bases apart from 10: Code: BS  MAXn Native  2   255 11111111  3   485 122222  4   767 23333  5   624 4444  6   295 5555  7  2057 5666  8  2047 3777  9  2915 3888 10  2999 2999 11  3992 2aaa 12  3455 1bbb 13  4393 1ccc 14  5487 1ddd 15  6749 1eee 16  8191 1fff 17  4912 ggg 18  5831 hhh 19  6858 iii 20  7999 jjj 21  9260 kkk 22 10647 lll 23 12166 mmm 24 13823 nnn 25 15624 ooo 26 17575 ppp 27 19682 qqq 28 21951 rrr 29 24388 sss 30 26999 ttt 31 29790 uuu 32 32767 vvv 33 35936 www 34 39303 xxx 35 39199 vyy 36 38879 tzz BS is the base, MAXn is the largest n for which a(n) is non-zero. Native is n presented in the specified base rather than base 10. Some observations: The final digits are always a run of the highest digit permitted in the base. The binary bases apart from four (2, 8, 16, 32) are equivalent to a run of set bits in binary (no gaps). Why is base 4 special? The sequence is generally increasing but dips between bases 16 and 17. It is interesting to note that the final number always ends with a run of the largest digit permitted by the base. RE: OEIS A212558: Proof of Unproven Conjecture? - Gerald H - 12-18-2017 12:00 PM (12-18-2017 10:21 AM)stored Wrote:  (n - s)^2 = (n + s)^2 - 4 n s = (n + s)^2 - 4 s (n + s) + 4 s^2 (n + s)^2 = (n - s)^2 + 4 n s = (n - s)^2 + 4 s (n - s) + 4 s^2 Then source problem is equivalent 4 s^2 mod (n+s) = 4 s^2 mod (n-s) This is true for all s, that 4 s^2 < n-s. Bravo, stored! A short study in algebra - I hope you enjoyed resolving the question as much as I enjoyed reading your analysis. RE: OEIS A212558: Proof of Unproven Conjecture? - Gerald H - 12-18-2017 01:29 PM Here a complete list of the 905 n for which a(n) is not zero: Code: 1    11 2    12 3    13 4    14 5    15 6    16 7    17 8    19 9    21 10    22 11    23 12    24 13    25 14    26 15    28 16    29 17    30 18    31 19    32 20    33 21    34 22    35 23    36 24    37 25    38 26    39 27    40 28    41 29    43 30    44 31    46 32    47 33    48 34    49 35    50 36    51 37    52 38    53 39    55 40    56 41    57 42    58 43    59 44    60 45    61 46    62 47    63 48    64 49    65 50    66 51    67 52    68 53    69 54    70 55    71 56    72 57    73 58    74 59    75 60    76 61    77 62    78 63    79 64    80 65    81 66    82 67    83 68    85 69    86 70    87 71    88 72    89 73    90 74    91 75    92 76    93 77    94 78    95 79    96 80    97 81    98 82    99 83    104 84    105 85    106 86    107 87    108 88    109 89    114 90    115 91    116 92    117 93    118 94    119 95    123 96    124 97    125 98    126 99    127 100    128 101    129 102    132 103    133 104    134 105    135 106    136 107    137 108    138 109    139 110    141 111    142 112    143 113    144 114    145 115    146 116    147 117    148 118    149 119    150 120    151 121    152 122    153 123    154 124    155 125    156 126    157 127    158 128    159 129    160 130    161 131    162 132    163 133    164 134    165 135    166 136    167 137    168 138    169 139    170 140    171 141    172 142    173 143    174 144    175 145    176 146    177 147    178 148    179 149    180 150    181 151    182 152    183 153    184 154    185 155    186 156    187 157    188 158    189 159    190 160    191 161    192 162    193 163    194 164    195 165    196 166    197 167    198 168    199 169    206 170    207 171    208 172    209 173    215 174    216 175    217 176    218 177    219 178    224 179    225 180    226 181    227 182    228 183    229 184    233 185    234 186    235 187    236 188    237 189    238 190    239 191    242 192    243 193    244 194    245 195    246 196    247 197    248 198    249 199    251 200    252 201    253 202    254 203    255 204    256 205    257 206    258 207    259 208    260 209    261 210    262 211    263 212    264 213    265 214    266 215    267 216    268 217    269 218    270 219    271 220    272 221    273 222    274 223    275 224    276 225    277 226    278 227    279 228    280 229    281 230    282 231    283 232    284 233    285 234    286 235    287 236    288 237    289 238    290 239    291 240    292 241    293 242    294 243    295 244    296 245    297 246    298 247    299 248    306 249    307 250    308 251    309 252    315 253    316 254    317 255    318 256    319 257    324 258    325 259    326 260    327 261    328 262    329 263    333 264    334 265    335 266    336 267    337 268    338 269    339 270    343 271    344 272    345 273    346 274    347 275    348 276    349 277    352 278    353 279    354 280    355 281    356 282    357 283    358 284    359 285    361 286    362 287    363 288    364 289    365 290    366 291    367 292    368 293    369 294    370 295    371 296    372 297    373 298    374 299    375 300    376 301    377 302    378 303    379 304    380 305    381 306    382 307    383 308    384 309    385 310    386 311    387 312    388 313    389 314    390 315    391 316    392 317    393 318    394 319    395 320    396 321    397 322    398 323    399 324    406 325    407 326    408 327    409 328    416 329    417 330    418 331    419 332    425 333    426 334    427 335    428 336    429 337    434 338    435 339    436 340    437 341    438 342    439 343    443 344    444 345    445 346    446 347    447 348    448 349    449 350    452 351    453 352    454 353    455 354    456 355    457 356    458 357    459 358    461 359    462 360    463 361    464 362    465 363    466 364    467 365    468 366    469 367    470 368    471 369    472 370    473 371    474 372    475 373    476 374    477 375    478 376    479 377    480 378    481 379    482 380    483 381    484 382    485 383    486 384    487 385    488 386    489 387    490 388    491 389    492 390    493 391    494 392    495 393    496 394    497 395    498 396    499 397    507 398    508 399    509 400    516 401    517 402    518 403    519 404    525 405    526 406    527 407    528 408    529 409    534 410    535 411    536 412    537 413    538 414    539 415    543 416    544 417    545 418    546 419    547 420    548 421    549 422    552 423    553 424    554 425    555 426    556 427    557 428    558 429    559 430    561 431    562 432    563 433    564 434    565 435    566 436    567 437    568 438    569 439    570 440    571 441    572 442    573 443    574 444    575 445    576 446    577 447    578 448    579 449    580 450    581 451    582 452    583 453    584 454    585 455    586 456    587 457    588 458    589 459    590 460    591 461    592 462    593 463    594 464    595 465    596 466    597 467    598 468    599 469    607 470    608 471    609 472    616 473    617 474    618 475    619 476    625 477    626 478    627 479    628 480    629 481    634 482    635 483    636 484    637 485    638 486    639 487    643 488    644 489    645 490    646 491    647 492    648 493    649 494    652 495    653 496    654 497    655 498    656 499    657 500    658 501    659 502    661 503    662 504    663 505    664 506    665 507    666 508    667 509    668 510    669 511    670 512    671 513    672 514    673 515    674 516    675 517    676 518    677 519    678 520    679 521    680 522    681 523    682 524    683 525    684 526    685 527    686 528    687 529    688 530    689 531    690 532    691 533    692 534    693 535    694 536    695 537    696 538    697 539    698 540    699 541    707 542    708 543    709 544    716 545    717 546    718 547    719 548    725 549    726 550    727 551    728 552    729 553    734 554    735 555    736 556    737 557    738 558    739 559    743 560    744 561    745 562    746 563    747 564    748 565    749 566    752 567    753 568    754 569    755 570    756 571    757 572    758 573    759 574    761 575    762 576    763 577    764 578    765 579    766 580    767 581    768 582    769 583    770 584    771 585    772 586    773 587    774 588    775 589    776 590    777 591    778 592    779 593    780 594    781 595    782 596    783 597    784 598    785 599    786 600    787 601    788 602    789 603    790 604    791 605    792 606    793 607    794 608    795 609    796 610    797 611    798 612    799 613    807 614    808 615    809 616    816 617    817 618    818 619    819 620    825 621    826 622    827 623    828 624    829 625    834 626    835 627    836 628    837 629    838 630    839 631    843 632    844 633    845 634    846 635    847 636    848 637    849 638    852 639    853 640    854 641    855 642    856 643    857 644    858 645    859 646    861 647    862 648    863 649    864 650    865 651    866 652    867 653    868 654    869 655    870 656    871 657    872 658    873 659    874 660    875 661    876 662    877 663    878 664    879 665    880 666    881 667    882 668    883 669    884 670    885 671    886 672    887 673    888 674    889 675    890 676    891 677    892 678    893 679    894 680    895 681    896 682    897 683    898 684    899 685    906 686    907 687    908 688    909 689    915 690    916 691    917 692    918 693    919 694    925 695    926 696    927 697    928 698    929 699    934 700    935 701    936 702    937 703    938 704    939 705    943 706    944 707    945 708    946 709    947 710    948 711    949 712    952 713    953 714    954 715    955 716    956 717    957 718    958 719    959 720    961 721    962 722    963 723    964 724    965 725    966 726    967 727    968 728    969 729    970 730    971 731    972 732    973 733    974 734    975 735    976 736    977 737    978 738    979 739    980 740    981 741    982 742    983 743    984 744    985 745    986 746    987 747    988 748    989 749    990 750    991 751    992 752    993 753    994 754    995 755    996 756    997 757    998 758    999 759    1079 760    1088 761    1089 762    1097 763    1098 764    1099 765    1169 766    1179 767    1188 768    1189 769    1197 770    1198 771    1199 772    1269 773    1278 774    1279 775    1287 776    1288 777    1289 778    1296 779    1297 780    1298 781    1299 782    1369 783    1378 784    1379 785    1387 786    1388 787    1389 788    1396 789    1397 790    1398 791    1399 792    1459 793    1469 794    1478 795    1479 796    1487 797    1488 798    1489 799    1496 800    1497 801    1498 802    1499 803    1559 804    1568 805    1569 806    1577 807    1578 808    1579 809    1586 810    1587 811    1588 812    1589 813    1595 814    1596 815    1597 816    1598 817    1599 818    1659 819    1668 820    1669 821    1677 822    1678 823    1679 824    1686 825    1687 826    1688 827    1689 828    1695 829    1696 830    1697 831    1698 832    1699 833    1749 834    1758 835    1759 836    1767 837    1768 838    1769 839    1776 840    1777 841    1778 842    1779 843    1785 844    1786 845    1787 846    1788 847    1789 848    1795 849    1796 850    1797 851    1798 852    1799 853    1849 854    1858 855    1859 856    1867 857    1868 858    1869 859    1876 860    1877 861    1878 862    1879 863    1885 864    1886 865    1887 866    1888 867    1889 868    1894 869    1895 870    1896 871    1897 872    1898 873    1899 874    1939 875    1948 876    1949 877    1957 878    1958 879    1959 880    1967 881    1968 882    1969 883    1976 884    1977 885    1978 886    1979 887    1985 888    1986 889    1987 890    1988 891    1989 892    1994 893    1995 894    1996 895    1997 896    1998 897    1999 898    2699 899    2799 900    2889 901    2898 902    2899 903    2989 904    2998 905    2999 RE: OEIS A212558: Proof of Unproven Conjecture? Proven! - Paul Dale - 12-18-2017 10:22 PM Time to update the OEIS details? Pauli RE: OEIS A212558: Proof of Unproven Conjecture? Proven! - Gerald H - 12-19-2017 05:39 AM (12-18-2017 10:22 PM)Paul Dale Wrote:  Time to update the OEIS details? Pauli Done. RE: OEIS A212558: Proof of Unproven Conjecture? Proven! - stored - 12-19-2017 06:21 AM Gerald, thanks you for the interesting quiz! Small addendum about sum of the decimal digits of n. Let s(n) is the sum of the decimal digits of n. Consider condition 4*s(n)^2 < n-s(n), (*) 4*s(n)^2 + s(n) < n Function in left is monotonically increasing function, then in respect that s(n) <= 9*log10(n+1) we get estimation 4*s(n)^2 + s(n) <= 4 * (9 * log10(n+1))^2 + 9*log10(n+1) = 324 * log10(n+1)^2 + 9*log10(n+1) Maximal solution of the equation 324 * log10(n+1)^2 + 9*log10(n+1) = n is n0 ~ 4313.68. (I use Wolfram Alpha for getting this value.) Hence, condition (*) is true for all n > n0. For n from 2999 to 4313 source statement may be checked by direct computations. RE: OEIS A212558: Proof of Unproven Conjecture? Proven! - Gerald H - 12-19-2017 08:10 AM & a programme for the 49G: Code: ::   CK1&Dispatch   BINT1   ::     %ABSCOERCE     DUPDUP     BINT10     #<     OVER     # BB7     #>     OR     case2drop     Z0_     ZEROSWAP     BEGIN     BINT10     #/     3UNROLL     #+SWAP     DUP#0=     UNTIL     DROP     DUPDUP     #+DUP     #*     3UNROLL     2DUP#+     4PICKSWAP     #/     DROP     UNCOERCE     4UNROLL     #-     #/     DROP     UNCOERCE     %-     FPTR2 ^R>Z   ; ;