Geometry Stumper

[Albert Chan]

Here is the prove, using power of Mathematica

Triangle scaled so base = 1, height = 1
Setup so A = {0,0}, B = {1, 0}, C = {k, 1}

If CDE is straight line with scaled triangle, it will still be straight, unscaled

Code:

In[1]:= pointE = {x, y} /. Solve[y == ae*x == be*(x - 1), {x, y}] // First

             be       ae be
Out[1]= {-(-------), --------}
           ae - be   -ae + be

In[2]:= pointD = pointE /. {ae -> -1/ae, be -> -1/be} // Simplify

           ae        1
Out[2]= {-------, --------}
         ae - be  -ae + be

In[3]:= pointC = {k, 1};

In[4]:= bisect = t /. Solve[{1/k == 2t/(1 - t*t)}, t] (* solve for ad, ae *)

                        2                  2
Out[4]= {-k - Sqrt[1 + k ], -k + Sqrt[1 + k ]}

In[5]:= ae = Last[bisect] (* pick the positive slope *)

                       2
Out[5]= -k + Sqrt[1 + k ]

In[6]:= be = ae /. k -> k-1 (* line BC slope = 1/(k-1), not 1/k *)

                             2
Out[6]= 1 + Sqrt[1 + (-1 + k) ] - k

In[7]:= Det[{pointD - pointC, pointE - pointC}] == 0 // Simplify (* CDE on the same line ? *)

Out[7]= True