OEIS A212558: Proof of Unproven Conjecture? Proven!

[Gerald H]

The sequence

https://oeis.org/A212558

defined as

a(n) = ((n - s)^2 mod (n + s)) - ((n + s)^2 mod (n - s)), where s is the sum of the decimal digits of n

has the value 0 for 2,999 < n < 20,000,000 & for random input 20,000,000 =< n < 10^94.

Can anyone suggest a proof of 0 value for all integer input > 2,999 ?

[pier4r]

interesting!

[stored]

(n - s)^2 = (n + s)^2 - 4 n s = (n + s)^2 - 4 s (n + s) + 4 s^2
(n + s)^2 = (n - s)^2 + 4 n s = (n - s)^2 + 4 s (n - s) + 4 s^2

Then source problem is equivalent
4 s^2 mod (n+s) = 4 s^2 mod (n-s)

This is true for all s, that
4 s^2 < n-s.

[Paul Dale]

The same property seems to hold for other bases apart from 10:

Code:


BS  MAXn Native
 2   255 11111111
 3   485 122222
 4   767 23333
 5   624 4444
 6   295 5555
 7  2057 5666
 8  2047 3777
 9  2915 3888
10  2999 2999
11  3992 2aaa
12  3455 1bbb
13  4393 1ccc
14  5487 1ddd
15  6749 1eee
16  8191 1fff
17  4912 ggg
18  5831 hhh
19  6858 iii
20  7999 jjj
21  9260 kkk
22 10647 lll
23 12166 mmm
24 13823 nnn
25 15624 ooo
26 17575 ppp
27 19682 qqq
28 21951 rrr
29 24388 sss
30 26999 ttt
31 29790 uuu
32 32767 vvv
33 35936 www
34 39303 xxx
35 39199 vyy
36 38879 tzz

BS is the base, MAXn is the largest n for which a(n) is non-zero. Native is n presented in the specified base rather than base 10.

Some observations:

• The final digits are always a run of the highest digit permitted in the base.
• The binary bases apart from four (2, 8, 16, 32) are equivalent to a run of set bits in binary (no gaps). Why is base 4 special?
• The sequence is generally increasing but dips between bases 16 and 17.
  

It is interesting to note that the final number always ends with a run of the largest digit permitted by the base.

[Gerald H]

(12-18-2017 10:21 AM)stored Wrote:  (n - s)^2 = (n + s)^2 - 4 n s = (n + s)^2 - 4 s (n + s) + 4 s^2
(n + s)^2 = (n - s)^2 + 4 n s = (n - s)^2 + 4 s (n - s) + 4 s^2

Then source problem is equivalent
4 s^2 mod (n+s) = 4 s^2 mod (n-s)

This is true for all s, that
4 s^2 < n-s.

Bravo, stored!

A short study in algebra - I hope you enjoyed resolving the question as much as I enjoyed reading your analysis.

[Gerald H]

Here a complete list of the 905 n for which a(n) is not zero:

Code:

1    11
2    12
3    13
4    14
5    15
6    16
7    17
8    19
9    21
10    22
11    23
12    24
13    25
14    26
15    28
16    29
17    30
18    31
19    32
20    33
21    34
22    35
23    36
24    37
25    38
26    39
27    40
28    41
29    43
30    44
31    46
32    47
33    48
34    49
35    50
36    51
37    52
38    53
39    55
40    56
41    57
42    58
43    59
44    60
45    61
46    62
47    63
48    64
49    65
50    66
51    67
52    68
53    69
54    70
55    71
56    72
57    73
58    74
59    75
60    76
61    77
62    78
63    79
64    80
65    81
66    82
67    83
68    85
69    86
70    87
71    88
72    89
73    90
74    91
75    92
76    93
77    94
78    95
79    96
80    97
81    98
82    99
83    104
84    105
85    106
86    107
87    108
88    109
89    114
90    115
91    116
92    117
93    118
94    119
95    123
96    124
97    125
98    126
99    127
100    128
101    129
102    132
103    133
104    134
105    135
106    136
107    137
108    138
109    139
110    141
111    142
112    143
113    144
114    145
115    146
116    147
117    148
118    149
119    150
120    151
121    152
122    153
123    154
124    155
125    156
126    157
127    158
128    159
129    160
130    161
131    162
132    163
133    164
134    165
135    166
136    167
137    168
138    169
139    170
140    171
141    172
142    173
143    174
144    175
145    176
146    177
147    178
148    179
149    180
150    181
151    182
152    183
153    184
154    185
155    186
156    187
157    188
158    189
159    190
160    191
161    192
162    193
163    194
164    195
165    196
166    197
167    198
168    199
169    206
170    207
171    208
172    209
173    215
174    216
175    217
176    218
177    219
178    224
179    225
180    226
181    227
182    228
183    229
184    233
185    234
186    235
187    236
188    237
189    238
190    239
191    242
192    243
193    244
194    245
195    246
196    247
197    248
198    249
199    251
200    252
201    253
202    254
203    255
204    256
205    257
206    258
207    259
208    260
209    261
210    262
211    263
212    264
213    265
214    266
215    267
216    268
217    269
218    270
219    271
220    272
221    273
222    274
223    275
224    276
225    277
226    278
227    279
228    280
229    281
230    282
231    283
232    284
233    285
234    286
235    287
236    288
237    289
238    290
239    291
240    292
241    293
242    294
243    295
244    296
245    297
246    298
247    299
248    306
249    307
250    308
251    309
252    315
253    316
254    317
255    318
256    319
257    324
258    325
259    326
260    327
261    328
262    329
263    333
264    334
265    335
266    336
267    337
268    338
269    339
270    343
271    344
272    345
273    346
274    347
275    348
276    349
277    352
278    353
279    354
280    355
281    356
282    357
283    358
284    359
285    361
286    362
287    363
288    364
289    365
290    366
291    367
292    368
293    369
294    370
295    371
296    372
297    373
298    374
299    375
300    376
301    377
302    378
303    379
304    380
305    381
306    382
307    383
308    384
309    385
310    386
311    387
312    388
313    389
314    390
315    391
316    392
317    393
318    394
319    395
320    396
321    397
322    398
323    399
324    406
325    407
326    408
327    409
328    416
329    417
330    418
331    419
332    425
333    426
334    427
335    428
336    429
337    434
338    435
339    436
340    437
341    438
342    439
343    443
344    444
345    445
346    446
347    447
348    448
349    449
350    452
351    453
352    454
353    455
354    456
355    457
356    458
357    459
358    461
359    462
360    463
361    464
362    465
363    466
364    467
365    468
366    469
367    470
368    471
369    472
370    473
371    474
372    475
373    476
374    477
375    478
376    479
377    480
378    481
379    482
380    483
381    484
382    485
383    486
384    487
385    488
386    489
387    490
388    491
389    492
390    493
391    494
392    495
393    496
394    497
395    498
396    499
397    507
398    508
399    509
400    516
401    517
402    518
403    519
404    525
405    526
406    527
407    528
408    529
409    534
410    535
411    536
412    537
413    538
414    539
415    543
416    544
417    545
418    546
419    547
420    548
421    549
422    552
423    553
424    554
425    555
426    556
427    557
428    558
429    559
430    561
431    562
432    563
433    564
434    565
435    566
436    567
437    568
438    569
439    570
440    571
441    572
442    573
443    574
444    575
445    576
446    577
447    578
448    579
449    580
450    581
451    582
452    583
453    584
454    585
455    586
456    587
457    588
458    589
459    590
460    591
461    592
462    593
463    594
464    595
465    596
466    597
467    598
468    599
469    607
470    608
471    609
472    616
473    617
474    618
475    619
476    625
477    626
478    627
479    628
480    629
481    634
482    635
483    636
484    637
485    638
486    639
487    643
488    644
489    645
490    646
491    647
492    648
493    649
494    652
495    653
496    654
497    655
498    656
499    657
500    658
501    659
502    661
503    662
504    663
505    664
506    665
507    666
508    667
509    668
510    669
511    670
512    671
513    672
514    673
515    674
516    675
517    676
518    677
519    678
520    679
521    680
522    681
523    682
524    683
525    684
526    685
527    686
528    687
529    688
530    689
531    690
532    691
533    692
534    693
535    694
536    695
537    696
538    697
539    698
540    699
541    707
542    708
543    709
544    716
545    717
546    718
547    719
548    725
549    726
550    727
551    728
552    729
553    734
554    735
555    736
556    737
557    738
558    739
559    743
560    744
561    745
562    746
563    747
564    748
565    749
566    752
567    753
568    754
569    755
570    756
571    757
572    758
573    759
574    761
575    762
576    763
577    764
578    765
579    766
580    767
581    768
582    769
583    770
584    771
585    772
586    773
587    774
588    775
589    776
590    777
591    778
592    779
593    780
594    781
595    782
596    783
597    784
598    785
599    786
600    787
601    788
602    789
603    790
604    791
605    792
606    793
607    794
608    795
609    796
610    797
611    798
612    799
613    807
614    808
615    809
616    816
617    817
618    818
619    819
620    825
621    826
622    827
623    828
624    829
625    834
626    835
627    836
628    837
629    838
630    839
631    843
632    844
633    845
634    846
635    847
636    848
637    849
638    852
639    853
640    854
641    855
642    856
643    857
644    858
645    859
646    861
647    862
648    863
649    864
650    865
651    866
652    867
653    868
654    869
655    870
656    871
657    872
658    873
659    874
660    875
661    876
662    877
663    878
664    879
665    880
666    881
667    882
668    883
669    884
670    885
671    886
672    887
673    888
674    889
675    890
676    891
677    892
678    893
679    894
680    895
681    896
682    897
683    898
684    899
685    906
686    907
687    908
688    909
689    915
690    916
691    917
692    918
693    919
694    925
695    926
696    927
697    928
698    929
699    934
700    935
701    936
702    937
703    938
704    939
705    943
706    944
707    945
708    946
709    947
710    948
711    949
712    952
713    953
714    954
715    955
716    956
717    957
718    958
719    959
720    961
721    962
722    963
723    964
724    965
725    966
726    967
727    968
728    969
729    970
730    971
731    972
732    973
733    974
734    975
735    976
736    977
737    978
738    979
739    980
740    981
741    982
742    983
743    984
744    985
745    986
746    987
747    988
748    989
749    990
750    991
751    992
752    993
753    994
754    995
755    996
756    997
757    998
758    999
759    1079
760    1088
761    1089
762    1097
763    1098
764    1099
765    1169
766    1179
767    1188
768    1189
769    1197
770    1198
771    1199
772    1269
773    1278
774    1279
775    1287
776    1288
777    1289
778    1296
779    1297
780    1298
781    1299
782    1369
783    1378
784    1379
785    1387
786    1388
787    1389
788    1396
789    1397
790    1398
791    1399
792    1459
793    1469
794    1478
795    1479
796    1487
797    1488
798    1489
799    1496
800    1497
801    1498
802    1499
803    1559
804    1568
805    1569
806    1577
807    1578
808    1579
809    1586
810    1587
811    1588
812    1589
813    1595
814    1596
815    1597
816    1598
817    1599
818    1659
819    1668
820    1669
821    1677
822    1678
823    1679
824    1686
825    1687
826    1688
827    1689
828    1695
829    1696
830    1697
831    1698
832    1699
833    1749
834    1758
835    1759
836    1767
837    1768
838    1769
839    1776
840    1777
841    1778
842    1779
843    1785
844    1786
845    1787
846    1788
847    1789
848    1795
849    1796
850    1797
851    1798
852    1799
853    1849
854    1858
855    1859
856    1867
857    1868
858    1869
859    1876
860    1877
861    1878
862    1879
863    1885
864    1886
865    1887
866    1888
867    1889
868    1894
869    1895
870    1896
871    1897
872    1898
873    1899
874    1939
875    1948
876    1949
877    1957
878    1958
879    1959
880    1967
881    1968
882    1969
883    1976
884    1977
885    1978
886    1979
887    1985
888    1986
889    1987
890    1988
891    1989
892    1994
893    1995
894    1996
895    1997
896    1998
897    1999
898    2699
899    2799
900    2889
901    2898
902    2899
903    2989
904    2998
905    2999

[Paul Dale]

Time to update the OEIS details?


Pauli

[Gerald H]

(12-18-2017 10:22 PM)Paul Dale Wrote:  Time to update the OEIS details?


Pauli

Done.

[stored]

Gerald, thanks you for the interesting quiz!

Small addendum about sum of the decimal digits of n.

Let s(n) is the sum of the decimal digits of n.
Consider condition
4*s(n)^2 < n-s(n), (*)
4*s(n)^2 + s(n) < n

Function in left is monotonically increasing function, then
in respect that
s(n) <= 9*log10(n+1)
we get estimation
4*s(n)^2 + s(n) <= 4 * (9 * log10(n+1))^2 + 9*log10(n+1) = 324 * log10(n+1)^2 + 9*log10(n+1)

Maximal solution of the equation
324 * log10(n+1)^2 + 9*log10(n+1) = n
is n0 ~ 4313.68. (I use Wolfram Alpha for getting this value.)
Hence, condition (*) is true for all n > n0.
For n from 2999 to 4313 source statement may be checked by direct computations.

[Gerald H]

& a programme for the 49G:

Code:

::
  CK1&Dispatch
  BINT1
  ::
    %ABSCOERCE
    DUPDUP
    BINT10
    #<
    OVER
    # BB7
    #>
    OR
    case2drop
    Z0_
    ZEROSWAP
    BEGIN
    BINT10
    #/
    3UNROLL
    #+SWAP
    DUP#0=
    UNTIL
    DROP
    DUPDUP
    #+DUP
    #*
    3UNROLL
    2DUP#+
    4PICKSWAP
    #/
    DROP
    UNCOERCE
    4UNROLL
    #-
    #/
    DROP
    UNCOERCE
    %-
    FPTR2 ^R>Z
  ;
;